Función Lineal

Una función, aplicación o transformación lineal es un conjunto de operaciones que se realizan sobre un elemento de un subespacio vectorial, para transformarlo en un elemento de otro subespacio. En ocasiones trabajar con vectores es muy sencillo ya que pueden ser fácilmente interpretados dentro de un contexto gráfico, lamentablemente no siempre ocurre y es necesario transformar a los vectores para poderlos trabajar más fácilmente. Por otra parte, trabajar con sistemas lineales es mucho más sencillo que con sistemas no lineales, ya que se puede utilizar una técnica llamada superposición, la cual simplifica de gran manera gran variedad de cálculos, por lo que es de gran interés demostrar que un proceso puede ser reducido a un sistema lineal, lo cual solo puede lograrse demostrando que estas operaciones forman una transformación lineal. 

El término Función lineal también es usado incorrectamente en el análisis matemático y en la geometría para designar una recta, un plano, o en genral una variedad lineal. 
Codominio. 

La particularidad de una transformación lineal es que preserva las operaciones de suma de vectores y producto de un escalar por un vector. 

Son aplicaciones lineales los operadores usados en la formulación matemática de la mecánica cuántica. 

Se denomina transformación lineal, función lineal o aplicación lineal a toda aplicación cuyo dominio y codominio sean espacios vectoriales que cumpla la siguiente definición: 

Sean V y W espacios vectoriales sobre el mismo cuerpo o campo K, y T una función de V en W. T es una transformación lineal si para todo par de vectores u y v pertenecientes a V y para todo escalar k perteneciente a K, se satisface que: 

1. T(u+v) = T(u) + T(v) \, 
2. T(ku) = kT(u) \, donde k es un escalar. 

Aclaración: Ov es el vector nulo del dominio y Ow es el vector nulo del codominio) 

Transformación lineal identidad 

T:V \rarr V \quad/\quad T(x) = x \forall x \in V 

Homotecias 

T:\mathbb{K}^n \rarr \mathbb{K}^n \quad/\quad T(x) = kx con k \in \mathbb{K} 
Si |k| > 1 se denominan dilataciones 
Si |k| < 1 se denominan contracciones 

Funciones Reales

Una función real es una función matemática cuyo dominio y codominio están contenidos en, es decir, es una función: En general se trata de funciones continuas, o bien discontinuas cuando están representadas por tramos, a diferencia de las funciones discretas, que son siempre discontinuas

Función real de variable real es toda correspondencia f que asocia a cada elemento de un determinado subconjunto de números reales, llamado dominio, otro número real.

f : D    

   x      f(x) = y

El subconjunto en el que se define la función se llama dominio o campo existencia de la función. Se designa por D.El número x perteneciente al dominio de la función recibe el nombre de variable independiente.Al número, y, asociado por f al valor x, se le llama variable dependiente. La imagen de x se designa por f(x). Luego

y= f(x)

Se denomina recorrido de una función al conjunto de los valores reales que toma la variable y o f(x).

Ecuaciones

Es una igualdad algebraica que se verifica para ciertos valores de la variable.

Con otras palabras:
Es una igualdad en las que aparecen números y letras
(llamadas incógnitas o variables)
relacionados mediante operaciones matemáticas.

La incógnita de una ecuación es la letra con valor desconocido.

El grado de una ecuación es el mayor exponente con que figura la incógnita en la ecuación una vez realizadas todas las operaciones.

Cuando la ecuación sólo contiene una letra le llamamos ecuaciones con una incógnita.
(Habitualmente, la x, pero no necesariamente).
Decimos que las ecuaciones son de primer grado cuando dicha letra no está elevada a ninguna
potencia (el exponente es 1 y puede omitirse).

Inecuaciones

Una in ecuación es una desigualdad que relaciona letras y números mediante las operaciones aritméticas. Las letras se llaman incógnitas. 
Las soluciones de una in ecuación son los valores que pueden tomar las incógnitas de manera que al sustituirlos en la in ecuación hacen que la desigualdad sea cierta
En estas expresiones se utilizan signos como ≤, > , ≥. Todas ellas son desigualdades a las que llamamos inecuaciones. 

La solución de cada una de estas inecuaciones es un conjunto de valores que hace que la desigualdad sea cierta. 



Veamos un ejemplo: 

En la inecuación 2x + 1 > 9, ¿qué valores pueden tomar las incógnitas para que la inecuación sea cierta? 

Damos valores arbitrarios a la incógnita x, obteniendo: 

                                                 Para x = 1:           2 · 1 + 1 = 3 < 9 
                                                 Para x = 2:           2 · 2 + 1 = 5 < 9 
                                                 Para x = 3:           2 · 3 + 1 = 7 < 9 
                                                 Para x = 4:           2 · 4 + 1 = 9 
                                                 Para x = 5:           2 · 5 + 1 = 11 > 9 

Por tanto, la inecuación es cierta cuando sustituimos x por un número mayor que 4. La solución es x > 4. 

Funciones cuadráticas

Una función cuadrática es aquella que puede escribirse como una ecuación de la forma:

f(x) = ax² + bx + c

donde a, b y c (llamados términos) son números reales cualesquiera y a es distinto de cero (puede ser mayor o menor que cero, pero no igual que cero). El valor de b y de c sí puede ser cero.

En la ecuación cuadrática cada uno de sus términos tiene un nombre.

Así,

ax² es el término cuadrático

bx es el término lineal

c es el término independiente

Cuando estudiamos la ecuación segundo grado vimos que si la ecuación tiene todos los términos se dice que es una ecuación completa, si a la ecuación le falta el término lineal o el independiente se dice que la ecuación es incompleta.