Una función, aplicación o transformación lineal es un conjunto de operaciones que se realizan sobre un elemento de un subespacio vectorial, para transformarlo en un elemento de otro subespacio. En ocasiones trabajar con vectores es muy sencillo ya que pueden ser fácilmente interpretados dentro de un contexto gráfico, lamentablemente no siempre ocurre y es necesario transformar a los vectores para poderlos trabajar más fácilmente. Por otra parte, trabajar con sistemas lineales es mucho más sencillo que con sistemas no lineales, ya que se puede utilizar una técnica llamada superposición, la cual simplifica de gran manera gran variedad de cálculos, por lo que es de gran interés demostrar que un proceso puede ser reducido a un sistema lineal, lo cual solo puede lograrse demostrando que estas operaciones forman una transformación lineal.
El término Función lineal también es usado incorrectamente en el análisis matemático y en la geometría para designar una recta, un plano, o en genral una variedad lineal.
Codominio.
La particularidad de una transformación lineal es que preserva las operaciones de suma de vectores y producto de un escalar por un vector.
Son aplicaciones lineales los operadores usados en la formulación matemática de la mecánica cuántica.
Se denomina transformación lineal, función lineal o aplicación lineal a toda aplicación cuyo dominio y codominio sean espacios vectoriales que cumpla la siguiente definición:
Sean V y W espacios vectoriales sobre el mismo cuerpo o campo K, y T una función de V en W. T es una transformación lineal si para todo par de vectores u y v pertenecientes a V y para todo escalar k perteneciente a K, se satisface que:
1. T(u+v) = T(u) + T(v) \,
2. T(ku) = kT(u) \, donde k es un escalar.
Aclaración: Ov es el vector nulo del dominio y Ow es el vector nulo del codominio)
Transformación lineal identidad
T:V \rarr V \quad/\quad T(x) = x \forall x \in V
Homotecias
T:\mathbb{K}^n \rarr \mathbb{K}^n \quad/\quad T(x) = kx con k \in \mathbb{K}
Si |k| > 1 se denominan dilataciones
Si |k| < 1 se denominan contracciones
El término Función lineal también es usado incorrectamente en el análisis matemático y en la geometría para designar una recta, un plano, o en genral una variedad lineal.
Codominio.
La particularidad de una transformación lineal es que preserva las operaciones de suma de vectores y producto de un escalar por un vector.
Son aplicaciones lineales los operadores usados en la formulación matemática de la mecánica cuántica.
Se denomina transformación lineal, función lineal o aplicación lineal a toda aplicación cuyo dominio y codominio sean espacios vectoriales que cumpla la siguiente definición:
Sean V y W espacios vectoriales sobre el mismo cuerpo o campo K, y T una función de V en W. T es una transformación lineal si para todo par de vectores u y v pertenecientes a V y para todo escalar k perteneciente a K, se satisface que:
1. T(u+v) = T(u) + T(v) \,
2. T(ku) = kT(u) \, donde k es un escalar.
Aclaración: Ov es el vector nulo del dominio y Ow es el vector nulo del codominio)
Transformación lineal identidad
T:V \rarr V \quad/\quad T(x) = x \forall x \in V
Homotecias
T:\mathbb{K}^n \rarr \mathbb{K}^n \quad/\quad T(x) = kx con k \in \mathbb{K}
Si |k| > 1 se denominan dilataciones
Si |k| < 1 se denominan contracciones
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